सरल आवर्त गति का समीकरण क्या है , दोलक का वेग , स्थितिज गतिज ऊर्जा The equation of SHM in hindi

The equation of SHM in hindi सरल आवर्त गति का समीकरण क्या है , दोलक का वेग , स्थितिज गतिज ऊर्जा ?

सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion)

जब कोई कण परवलयिक विभव कूप में दोलन गति करता है तो कण की दोलन गति को सरल आवर्त गति कहते हैं और सरल आवर्त गति करने वाले कण या निकाय को सरल आवर्ती दोलक या दोलित्र (harmonic oscillator) कहते हैं। सरल आवर्ती दोलक की स्थितिज ऊर्जा को निम्न समीकरण से व्यक्त करते हैं

U= 1/2 kx² ……………………..(1)

परन्तु   F = – δU /δx

दोलक पर कार्यरत बल F =- kx ………………(2)

यहाँ नियतांक k बल नियतांक (force constant) कहलाता है। समीकरण (2) के ऋण चिन्ह से यह प्रकट होता है कि जब कण सन्तुलन बिन्दु से दूर हटता है तो दोलक पर लगे बल की दिशा सन्तुलन बिन्दु की ओर होती है। इस बल को प्रत्यानयन बल (restoring force) भी कहते हैं। अतः सरल आवर्त गति साम्यावस्था के इधर-उधर किसी कण की वह दोलनी गति है जिसमें प्रत्यानयन बल विस्थापन के अनुक्रमानुपाती है और दिशा सदैव साम्यावस्था की ओर होती है।

 (i) सरल आवर्त गति का समीकरण (The equation of SHM)

माना m द्रव्यमान का एक कण अपने सन्तुलन बिन्दु के अधर-उधर दोलन करता है। किसी समय । पर कण का विस्थापन x तथा त्वरण d²x/d t² है तो कण पर कार्यरत बल

F = m d²x/d t²

F = – kx

M d²x/dt² = – kx

दोलन का त्वरण  d² x/dt² = – k/m x  ………………………………..(3)

यदि    ω_o² = k/m    मान लें तो

d²x/dt² + ω_o² x = 0

समीकरण (4) सरल आवर्त गति का अवकल समीकरण कहलाता है। इस समीकरण को करके किसी क्षण t पर कण का विस्थापन x ज्ञात कर सकते हैं।

(ii) दोलक का वेग (Velocity of an oscillator)

समीकरण (4) को  dx/dt से गुणा करने पर

(dx/dt) (d²x/dt²) = – ω_o² x dx/dt

माना दोलक का वेग  v = dx/dt

V dv/dt = – ω₀² x dx/dt

Vdv = – ω_o² x dx

इस समीकरण का समाकल करने पर

∫ Vdv = – ω_o² ∫ xdx

V²/2 = – ω_o² x²/2 + c

यहाँ C समाकल नियतांक है। हम जानते हैं कि दोलक के महत्तम विस्थापन या आयाम (amplitude) की स्थिति पर दोलक का वेग शून्य होता है। अर्थात् यदि दोलन का आयाम a हो तो x = a पर  dx/dt  = v = 0 होता है। ये मान उपरोक्त समीकरणों में रखने पर

0 = – ω_o² a²/2 = + C

C = ω_o²  a²/2

अब C का मान रखने पर

V²/2 = – ω_o²  x²/2 + ω_o²  a²/2

V = ω_o √a² – x²

(iii) दोलक का विस्थापन (Displacement of an oscillator)

समीकरण (5) से

V = dx/dt = ω_o √a² – x²

या   dx/√a² – x²  = ω_odt

समाकलन करन पर

Sin^-1 x/a = ω_ot + φ

X = a sin (ω_ot + φ) …………………….(6)

समीकरण (6) दोलक के विस्थापन x के समीकरण को व्यक्त करता है। इससें φ दोलक की प्रारम्भिक कला (initial phase) है। और (ω_ot + φ) समय t पर दोलक की परिणामी कला है।

(iv) दोलक का आवर्त काल (Time period of an oscillator) किसी क्षण । पर दोलक का विस्थापन है,

x = a sin (ω_ot + φ)

sine फलन में कोण 2π या इसके पूर्ण गुणजों (integral multiples) से परिवर्तित करने पर sine के मान में कोई परिवर्तन नहीं होता है, अर्थात्

sin θ = sin (2π + θ) = sin (4π + 0)= ……

x = a sin (ω_ot + 2π + φ)

x = a sin {ω_o (t + 2π/ ω_o) + φ}

माना  t + 2π/ ω_o  = t

x = a sin (ω_ot + φ)

चँकि t ‘समय पर भी दोलक का विस्थापन पुनः x के बराबर आता है अर्थात् गति की इस अवस्था की पुनरावृत्ति होती है। अतः समयान्तराल (t’ – t) आवर्तकाल को परिभाषित करता है।

.:. दोलक का आवर्तकाल

T = (t’- t)

T = t + 2π/ω_o – t

T = 2π/ω_o

दोलक का कोणीय वेग = 2π/T = ω_o

अब क्योंकि   ω_o  = √k/m

दोलक का आवर्त काल  T = 2π√m/k   ……………………………..(7)

(v)  दोलक की स्थितिज ऊर्जा (potential energy of an oscillator)

दोलक को अपनी माध्य स्थिति से x दूरी तक प्रत्यानयन बल के विरुद्ध विस्थापित करने में किया कार्य दोलक की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है |

चूँकि दोलक को dx विस्थापन करने में बल F द्वारा किया गया कार्य –

dW = Fdx

अत: दोलक को साम्यावस्था से x दूरी तक विस्थापन में बल F के विरुद्ध किया गया कुल कार्य –

W = ₀∫^x (-F) dx = U – U₀

यदि साम्यावस्था में स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाए अर्थात साम्यावस्था के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा ज्ञात की जाए तो U₀ = 0

U = –₀∫^x Fdx

लेकिन दोलक पर कार्यरत बल

F = -kx

अत: U = k ₀∫^x xdx

अत: U = ½ kx²  …………………………….समीकरण-8

लेकिन विस्थापन x = a sin(ω₀t + Φ)

चूँकि U = ½ ka² sin²(ω₀t + Φ)

अत: k = m ω₀²

अत: U = ½ m ω₀²  a² sin²(ω₀t + Φ)  …………………………….समीकरण-9

समीकरण-8 और समीकरण 9 दोलक के स्थितिज ऊर्जा के अभीष्ट व्यंजक है | स्पष्टत: दोलक की स्थितिज ऊर्जा के अधिकतम और न्यूनतम मान होंगे |

U_min = 0   जब ω₀t + Φ = 0 , π

U_max = ½ m ω₀²a²  जब ω₀t + Φ = π/2

अत: समय के सापेक्ष एक चक्कर में दोलक की स्थितिज ऊर्जा का मान शून्य से ½ m ω₀²a²  तक परिवर्तित होता है इसलिए एक आवर्त्तकाल के लिए

समय के सापेक्ष माध्य स्थितिज ऊर्जा

<U> = 1/T ₀∫^T  Udt

= 1/T ₀∫^T  ½ m ω₀²a² sin²(ω₀t + Φ) dt

<U> = ¼ m ω₀²a²  …………………………….समीकरण-10

अत: हम जानते है कि ₀∫^T  sin²(ω₀t + Φ) dt  = T/2

जहाँ <> चिन्ह माध्य के लिए उपयोग किया गया है |

(vi) दोलक की गतिज ऊर्जा (kinetic energy of an oscillator) :

अत: दोलक की गतिज ऊर्जा K = ½ mv²

समीकरण 5 से v का मान रखने पर

K = ½ m ω₀² (a² – x²)  …………………………….समीकरण-11

लेकिन x = a sin (ω₀t – Φ)

अत: K = ½ m ω₀² a² cos² (ω₀t + Φ)  …………………………….समीकरण-12

समीकरण 11 और समीकरण 12 दोलक की गतिज ऊर्जा के अभीष्ट व्यंजक है | इन समीकरणों से ज्ञात होता है कि

K_max = ½ m ω₀² a²  जब ω₀t + Φ = 0 , π

K_min = 0   जब ω₀t + Φ = π/2

अत: समय के सापेक्ष एक चक्कर में दोलक की गतिज ऊर्जा भी शून्य से ½ m ω₀² a²  तक परिवर्तित होती है इसलिए एक आवर्त काल के लिए माध्य गतिज ऊर्जा

<K> = 1/T ₀∫^T ½ m ω₀² a² cos² (ω₀t + Φ) dt

<K> = ¼ m ω₀² a² …………………………….समीकरण-13

जहाँ समाकलन ₀∫^T cos² (ω₀t + Φ) dt = T/2

(vii) दोलक की कुल ऊर्जा (total energy of an oscillator)

समीकरण 9 और 12 का योग करने पर

कुल ऊर्जा = U + K

= ½ m ω₀²  a² sin²(ω₀t + Φ)  + ½ m ω₀² a² cos² (ω₀t + Φ)

= ½ m ω₀²  a² …………………………….समीकरण-14

स्पष्ट है कि सरल आवृत्ती दोलक की कुल ऊर्जा समय के सापेक्ष नियत रहती है अत: सरल आवर्ती दोलक , यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का पालन करता है तथा इसकी ऊर्जा द्रव्यमान m , आयाम के वर्ग a² और कोणीय आवृत्ति के वर्ग ω₀² के अनुक्रमानुपाती होती है |