Simple Pendulum as an Anharmonic Oscillator in hindi अप्रसंवादी दोलक के रूप में सरल लोलक

भौतिक विज्ञान में Simple Pendulum as an Anharmonic Oscillator in hindi अप्रसंवादी दोलक के रूप में सरल लोलक किसे कहते हैं या क्या होता है ?

सरल लोलक (अप्रसंवादी दोलक के रूप में) (Simple Pendulum as an Anharmonic Oscillator)

चित्रानुसार (15) जब लम्बाई के अवितान्य डोरी (inextinsible string) से m द्रव्यमान के किसी कण या पिण्ड को दृढ़ आधार से लटकाकार ऊर्ध्वाधर तल में दोलन कराया जाता है तो किसी क्षण कोणीय विस्थापन θ पर गुरुत्वीय बल के कारण बिन्दु कण पर कार्यरत प्रत्यानयन बल

F =- mg sinθ

लटकन बिन्दु O के सापेक्ष बलाघूर्ण

T =- mg I sin θ

अतः दोलक के कोणीय गति का समीकरण,

I d² θ/dt² = mg I sin θ

यहाँ I = MI² लटकन बिन्दु O के सापेक्ष m द्रव्यमान के कण का जड़त्व आघूर्ण है।

D² θ/dt² + mgI/MI² sin θ = 0

D² θ/dt² + ω₀² sin θ = 0  ………………………(1)

g/I = ω₀²

समीकरण (1) को हल करने के लिए  d θ/dt से गुणा करने पर

(dθ/dt ) (d² θ/dt² ) + ω₀² sin θ d θ/dt = 0

माना d θ/dt = ω

ω dω/dt + ω₀ ²  sin θ dθ/dt = 0

ω dω + ω₀² sin θ dθ = 0

समाकलन करने पर

Ω² /2 = ω₀ ² cos θ = A ………………………………………….(2)

यहाँ A समाकल नियतांक है। A का मान दोलक की प्रारम्भिक स्थिति से ज्ञात कर सकते हैं। माना दोलक के अधिकतम आयाम  θ = θ₀, की स्थिति पर ω का मान शून्य है।

A = – ω₀ ² cos θ₀

अब A का मान समीकरण (2) में रखने पर

ω = ω₀ [2(cos θ -cos θ₀)] ^½

dθ/dt = 2ω₀ (sin² θ₀/2 sin² θ/2)^1/2

ω₀dt = dθ/2(sin² θ₀/2 – sin² θ/2)^1/2 ……………………………(3)

समीकरण (3) का एक चौथाई आवर्त्तकाल T/4 के लिए समाकल करने पर,

ω₀ T/4 = ∫ dθ/2(sin² θ₀/2 – sin² θ/2)^1/2 ……………………………….(4)

sin θ/2 = sin θ₀/2 sin ϕ

= 1/2 cos θ/2 dθ = sin θ₀/2 cos ϕ dϕ

उपरोक्त मान समीकरण (4) में रखने पर

ω₀ T/4 = ∫ [dϕ/(1-sin² θ₀/2 sin² ϕ)^1/2 ……………………………….(5)

ω₀ T/4 = ∫ dϕ [1 + 1/2 sin² θ₀/2 sin² ϕ + 3/8 sin⁴ θ₀/2 sin⁴ ϕ + 5/16 sin⁶ θ₀/2 sin⁶ ϕ + ………..]

∫ sinⁿ ϕ dϕ = (n – 1/n. n – 3/n -2) x π/2

जब n सम है

ω₀ T/4 = [π/2 + π/8 sin² θ₀/2 + 9π/128 sin⁴ θ₀/2 + ……….]

अब चूंकि ω₀ = 2π/T₀

T = T₀ [1 + 1/4 sin² θ₀/2 + 9/64 sin⁴ θ₀/2 + ………..]

यदि sin² θ₀/2 << 1 हो तो उच्च घात वाले पदों को उपेक्षणीय माना जा सकता है।

T = T₀ (1 + 1/4 sin² θ₀/2)

यदि आयाम कम हो तो sin θ₀/2 = θ₀/2

T = T₀ (1 + θ₀²/16) ……………..(16)

समीकरण (6) से यह स्पष्ट होता है कि सरल लोलक के आयाम में वृद्धि करने पर आवर्तकाल में अल्प वृद्धि होती है, जैसा कि चित्र (16) में प्रदर्शित किया गया है।

एकान्तर विधि

समीकरण (1) से sin θ को श्रेणी रूप में लिखने पर

D²θ/dt² + ω₀² (θ – θ³/6 + θ⁵/120 ……….) = 0 ………………..(7)

यदि θ का मान रेडियन में लिखें तो θ⁵ से उच्च घातों को नगण्य माना जा सकता है।

D²θ/dt² + ω₀² (θ – θ³/6) = 0

या  d²θ/dt² + ω₀²θ = ω₀²θ³/6 ……………………..(8)

खण्ड (2.6) के समीकरण (4) से तुलना करने पर

X = θ, a =0, B=- ω₀²/6 तथा B₁ = θ

समीकरण (8) का हल, [खण्ड (2.6) के समीकरण (17) से]

T = T₀ [1 – 3/8 B B₁²T₀²/4π²

= T₀ [1 – 3/8 (-ω₀² /6) (θ₀²/ ω₀²)]

= T₀ (1 + θ₀²/16) ……………………….(9)

जहां θ₀ अप्रसंवादी लोलक के सरल लोलक की स्थिति में दोलन करने पर आयाम है। इसी प्रकार खण्ड (2.6) के अप्रसंवादी दोलक के विस्थापन समीकरण (16) से

Θ = θ₀ cos  t + ω₀²θ₀³/24 (ω₀² – 9ω²) cos ωt …………………………….(10)

अतः अप्रसंवादी लोलक के दोलन का आवर्तकाल आयाम में वृद्धि होने पर बढ़ता है तथा इसमें दो संवादी होते हैं जिनकी आवृत्ति ω तथा 3ω होती है।

संख्यात्मक उदाहरण

उदाहरण-1. एक 10g के प्रणोदित दोलक का न्यून आवृत्तियों पर आयाम 0.01 cm है तब बढ़कर 512Hz हर्टज् आवृत्ति पर महत्तम मान 1 cm प्राप्त कर लेता है। दोलक के विशेषता गुणा तथा अवमन्दन गुणांक की गणना करो।

हल : प्रश्नानुसार,

x_o (ω << ω₀) = 0.01 cm

x_o (ω = ω₀ ) =1cm

ω₀ – 2πf₀ = 2π x 512 = 1024π rad/s

हम जानते हैं कि

Q = x₀(ω = ω₀)/x₀(ω >> ω₀)

= 1/0.01 = 100

तथा    λ = mω₀ = 0.010 x 1024 x 3.14/100

= 0.32kg/s

उदाहरण-2. विशेषता गुणांक 100 तथा आवृत्ति ω = 0.9ω₀ द्वारा चलित दोलक का आयाम निम्न सम्बन्ध द्वारा व्यक्त किया जाता है

A = f₀/( ω₀² – ω²)² + ω²/t²

A_max /A की गणना करो।

हल : प्रश्नानुसार,

Q = 100

ω = 0.9ω₀

t = Q/ ω₀ =100 /ω₀

A = f₀/( ω₀² – 0.81 ω₀²)² + 0.81ω₀⁴/10⁴

F₀/ ω₀² 1/(1 – 0.81)² + 0.81 x 10^-4 = f₀/0.19 ω₀²

A = A_max  जब ω = ω₀

A_max = f₀t/ ω₀ = f₀Q/ ωω₀

= 100f₀/ ω₀²

अतः   A_max/A = 100f₀/ ω₀²  0.19 ω₀²/f₀ = 19

उदाहरण-3. एक प्रणोदित दोलक का न्यून आवृत्ति पर आयाम 0.1 mm है। आयाम का, ω= 0.99 ω₀ पर 5 mm हो जाता है। विशेषता गुणांक Q का मान ज्ञात कीजिए।

हल : प्रणोदित दोलक का आयाम

A = f₀/( ω₀² – ω²)² + ω₀² ω²/Q²

न्यून आवृत्ति पर

A₀ = f₀/ ω₀² = 0.1 x 10^-3

ω = 0.99 ω₀, पर

A = f₀/( ω₀² – ω²)² + ω₀² ω²/Q² = 5 x 10^-3

A/A₀ = 1/(1 – ω²/ ω₀²)² + ω²/ ω₀²Q²

(1 – ω²/ ω₀²)² + ω²/ ω₀²Q² = 0.0004

(1-0.99²)² + 0.99²/Q² = 0.0004

0.99²/Q² = 0.0004 – 0.000396 = 4 x 10^-6

Q = 0.99/2 x 10^-3 = 495

उदाहरण-4. बल नियतांक 10⁵ dyne/cm वाली एक स्प्रिंग से 10gm द्रव्यमान का एक पिण्ड लटकाया गया है। तन्त्र का विश्रान्ति काल 1s है। इस पिण्ड को F =10⁴ sin (105 t) बल द्वारा दोलित कराया जाता है। दोलनों का आयाम तथा कला का परिकलन करो।

हल : प्रश्नानुसार, k = 10⁵ dyne/cm

m = 10 gm

t = 1 s

चालित आवृत्ति  ω =105  rad/s

स्वाभाविक आवृत्ति ω₀ =k/m = 10⁵/10 = 100 rad/s

(i) आयाम  x₀ = f₀/m 1/[( ω₀² – ω²)² + ω²/t²]

= 10000/10 (100² – 105²)² + 105²

10000 10/100–105-02+1052 1000

= 1000/1025² + 105² = 1000/1030.36

=0.97cm

(ii) कला कोण  ϕ = tan^-1 ω/t(ω₀² – ω²) = tan^-1 105/(100² – 105²)

ϕ = tan^-1 (-105/1025) = tan^-1 (-0.102)

ϕ = 174.18⁰

उदाहरण-5. चालित दोलक के लिए सिद्ध कीजिए कि

Q = 1/2 [1 + ω₀² / ω²] ωt

जहाँ ω₀, दोलक की स्वाभाविक आवृत्ति, ω बल की आवृत्ति तथा t विश्रान्ति काल है।

हल : दोलक की कुल ऊर्जा E = माध्य गतिज ऊर्जा + माध्य स्थितिज ऊर्जा

E = 1/4 m ω²x₀² + 1/4 mω₀²x₀² = m/4 (ω² + ω₀²) x₀²

माध्य शक्ति अवशोषण

<p> = 1/2 m ω²x₀²/t

विशेषता गुणांक  Q = ω E/<P> = 1/2 ω(ω² + ω₀²)t / ω²

= 1/2 [1 + ω₀²/ ω² ] ωt