दूरदर्शी व सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता और विभेदन सीमा limit of resolution and resolving power of microscope and telescope

limit of resolution and resolving power of microscope and telescope , दूरदर्शी व सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता और विभेदन सीमा ज्ञात करना क्या है ? :-

दूरदर्शी की विभेदन सीमा (dθ) : दूरदर्शी की विभेदन सीमा दूरस्थ वस्तुओ द्वारा इसके अभिदृश्क पर बनाई गयी वह न्यूनतम कोणीय दूरी है जिस पर दूरदर्शी दोनों वस्तुओ के प्रतिबिम्बों को ठीक विभेदित कर सके , इसे dθ से प्रदर्शित करते है तथा इसका मात्रक रेडियम अथवा डिग्री होता है। दूरदर्शी की विभेदन सिमा (dθ) दूरस्थ वस्तु से आने वाले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य λ के समानुपाती तथा अभिदृशक के आकार (d) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

अत:

dθ ∝ λ समीकरण-1

dθ ∝ 1/D समीकरण-2

समीकरण-1 तथा समीकरण-2 से –

dθ ∝ λ/D

dθ = 1.22λ/D  समीकरण-3

D = अभि नेत्र लेंस का आकार –

d = 1/dθ

d = D/1.22λ   समीकरण-4

दूरदर्शी की विभेदन क्षमता :- दूरदर्शी की विभेदन क्षमता दूरस्थ वस्तुओ के मध्य की वह न्यूनतम दूरी होती है जिस पर अभिदृश्क द्वारा दोनों वस्तुओ के प्रतिबिम्बों को पृथक – पृथक देखा जा सकता है |

दूरदर्शी की विभेदन क्षमता (d) इसकी विभेदन सीमा (dθ) के व्युत्क्रमानुपाती होती है अर्थात –

d = 1/dθ

d = D/1.22λ   समीकरण-4

समीकरण-4 से स्पष्ट है कि अभिदृश्यक के आकार को बढ़ाकर अथवा वस्तुओ से आने वाले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य को घटाकर दूरदर्शी की विभेदन क्षमता बढाई जा सकती है परन्तु वस्तुओ से आने वाली प्रकाश की तरंग दैधर्य पर हमारा कोई नियंत्रण नहीं होता है अत: अभिदृश्य के आकार को बढ़ाकर ही दूरदर्शी की विभेदन क्षमता को बढाया जा सकता है |

नोट : दूरदर्शी का अभि दृश्यक बड़ा होने पर इसमें प्रवेश करने वाले प्रकाश की मात्रा भी अधिक होती है जिससे प्रतिबिम्बों की तीव्रता बढ़ जाती है तथा प्रतिबिम्ब चमकीली प्राप्त है अत: प्रतिबिम्बों की तीव्रता बढने से इनकी आंतरिक संरचना को अधिक स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है तथा इससे भी अधिक दूरी पर स्थित वस्तुओ के प्रतिबिम्ब को पृथक पृथक रूप से देखा जा सकता है |

सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा

सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा दो बिन्दुवत वस्तुओ के मध्य की वह न्यूनतम दूरी है जिस पर सूक्ष्मदर्शी इनके प्रतिबिम्बों को अलग अलग रूप से बना सके इसे d से दर्शाते है तथा इसका मात्रक m अथवा cm होता है |

सूक्ष्म दर्शी की विभेदन सीमा वस्तुओ से आने वाले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य (λ) के समानुपाती तथा सूक्ष्मदर्शी के संकुल कोण (2θ) के व्युत्क्रमानुपाती होती है अत:

d ∝ λ  समीकरण-1

d  ∝ 1/2θ  समीकरण-2

समीकरण-1 तथा समीकरण-2 से –

d ∝ λ/2θ

d = 1.22 λ/2θ

चूँकि θ बहुत छोटा है |

d = 1.22 λ/Sin2θ

चूँकि sin2θ = 2sinθcosθ

अत:

d = 1.22 λ/2sinθcosθ

θ छोटा होने से –

cosθ = 1

d = 1.22 λ/2sinθ  समीकरण-3

यदि वस्तु तथा अभिदृशयक के मध्य माध्यम (μ) उपस्थित हो तो तब समीकरण-3 से –

d = 1.22 λ/2μ sinθ  समीकरण-4

यहाँ μ sinθ = आंकिक द्वारक है |

सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता : सूक्ष्म दर्शी की विभेदन क्षमता इसकी विभेदन सीमा के व्युत्क्रम के बराबर होती है |

क्षमता = 1/D

क्षमता = 2μ sinθ/1.22 λ

यदि माध्यम की उपस्थिति हो –

क्षमता = 2sinθ/1.22 λ समीकरण-5

समीकरण-5 से स्पष्ट है कि सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता बढाने के लिए शंकु कोण 2θ को बढाना होगा अथवा वस्तुओ से आने वाले प्रकाश की तरंग दैधर्य को कम करना होता है परन्तु शंकु कोण को एक निश्चित सीमा तक ही कम किया जा सकता है क्योंकि वस्तुएं अभिदृश्यक के फोकस तल से बाहर रहनी है | अन्यथा वस्तुओ के प्रतिबिम्ब वास्तविक न बनकर आभासी बनते है अत: तरंग दैधर्य को कम करके ही सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता को बढ़ाया जा सकता है |

प्रश्न : दो समीपवर्ती वस्तुओ के मध्य की न्यूनतम दूरी 1mm है तथा 6000 एन्ग्सट्रम तरंग दैधर्य का प्रकाश प्रयोग में लाने पर सूक्ष्मदर्शी द्वारा इन्हें विभेदित किया जा सकता है , यदि 4800 A तरंग दैधर्य का प्रकाश प्रयोग में लाया जाए तब वस्तुओ के मध्य की न्यूनतम दूरी क्या हो जिससे इनके प्रतिबिम्बों को अलग अलग किया जा सके ?

उत्तर : दिया गया है –

d’ = 1mm

d’ = 1 x 10^-3 मीटर

λ₁ = 6000 A

λ₁ = 6 x 10^-7 मीटर

λ₂ = 4800 A

λ₂ = 4.8 10^-7 मीटर

d” = ?

चूँकि

d = 1.22 λ/2sinθ

यहाँ θ नहीं दे रखा अत: θ दोनों स्थिति में नियत होगा |

d ∝ λ

d”/d’ = λ₂/λ₁

हल करने पर

d” = d’ x  λ₂/λ₁

मान रखकर हल करने पर –

d” = 0.8 mm

प्रश्न 2 : एक मानव नेत्र का व्यास 2 mm है , इससे 50 cm दूरी पर स्थित दो वस्तुओ के मध्य की न्यूनतम दूरी क्या हो जिससे इन्हें मानव नेत्र द्वारा पृथक किया जा सके जबकि वस्तुओ से आने वाले प्रकाश की तरंग दैधर्य 6000 A है |

उत्तर : दिया गया है –

D = 2 mm

D = 2 x 10^-3 मीटर

r = 50 cm

r = 1/2 मीटर

l = ?

 λ = 6000 A

 λ = 6 x 10^-7 मीटर

हम जानते है कि –

dθ = 1.22 λ/D  समीकरण-1

चित्र ज्यामिति से –

dθ = l/r  समीकरण-2

समीकरण-1 व 2 से

l/r  = 1.22 λ/D

l  = 1.22 rλ/D

मान रखकर हल करने पर –

l = 0.183 mm

व्यतिकरण एवं विवर्तन में अंतर